Si le domaine de f est un espace topologique, le support de f est plutôt défini comme le plus petit ensemble fermé contenant tous les points non mappés à zéro. Dans ce cas, le soutien essentiel d`une fonction mesurable f: X → R, écrit ESS SUPP (f), est défini comme étant le plus petit sous-ensemble fermé F de X tel que f = 0 μ-presque partout en dehors de F. Par exemple, la transformée de Fourier de la fonction d`étape Heaviside peut, jusqu`à des facteurs constants, être considérée comme étant 1/x (une fonction), sauf à x = 0. Le soutien de est la fermeture de l`ensemble de points pour lequel est différent de zéro. Bredon, Sheaf Theory (2e édition, 1997) donne ces définitions. Plus précisément, supposons que la fonction est définie sur un domaine. Cela a l`interprétation intuitive comme l`ensemble des points où une distribution ne parvient pas à être une fonction lisse. Par exemple, la fonction f: r → R {displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R}} définie ci-dessus est une fonction continue avec un support compact [− 1,1]. Dans cet exemple, nous pouvons considérer les fonctions de test F, qui sont des fonctions lisses avec prise en charge non compris le point 0.

Dans ce cas, la prise en charge de f est définie topologiquement comme la fermeture du sous-ensemble de X où f est non-zéro [1] [2] [3] i. La sous-famille {f dans ZN: f a un support fini} est l`ensemble dénombrable de toutes les séquences entières qui n`ont que de nombreuses entrées non nulles. Plus formellement, si X: Ω → R {displaystyle X:Omega To mathbb {R}} est une variable aléatoire sur (Ω, F, P) {displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, P)} le support de X {displaystyle X} est le plus petit ensemble fermé R X ⊂ R {displaystyle r_ {X} sous-ensemble mathbb {R}} à P (X, R X) = 1 {displaystyle P (Xin r_ {X}) = 1}. Les supports singuliers peuvent également être utilisés pour comprendre les phénomènes spéciaux à la théorie de la distribution, tels que les tentatives de «multiplier» les distributions (quadrature de la fonction delta Dirac échoue – essentiellement parce que les supports singuliers des distributions à multiplier doit être disjoint). La fonction: $ $f (x) = begin{cases}mathrm e ^ {tfrac1{(x-a) ^ 2-r ^ 2}} & text{if}enspace lvert x-arvert < r 0 & text{if}enspace lvert x-arvertge rend {cases}, $ $ est un exemple d`une fonction $ mathcal C ^ infty $ avec prise en charge dans $ [a-r, a + r] $.